Ejercicios Resueltos De Integrales Por Fracciones Parciales
Si estás estudiando cálculo integral, seguramente te habrás encontrado con el tema de las fracciones parciales. Este método se utiliza para descomponer una función racional en una suma de fracciones simples, lo que permite integrarla más fácilmente. En este artículo te presentamos una serie de ejercicios resueltos de integrales por fracciones parciales para que puedas practicar y mejorar tus habilidades en este tema.
¿Qué son las fracciones parciales?
Las fracciones parciales son una técnica matemática que se utiliza para descomponer una función racional en una suma de fracciones simples. Esto se hace mediante el uso de la factorización de polinomios. El objetivo de este proceso es facilitar la integración de la función racional, ya que las fracciones simples son más fáciles de integrar que la función original.
¿Cómo se resuelven las integrales por fracciones parciales?
Para resolver una integral por fracciones parciales, se deben seguir los siguientes pasos:
- Factorizar el denominador de la función racional.
- Descomponer la función en una suma de fracciones simples, cuyos denominadores sean los factores obtenidos en el paso anterior.
- Determinar los coeficientes de las fracciones simples mediante un sistema de ecuaciones.
- Integrar cada una de las fracciones simples obtenidas.
- Sumar las integrales obtenidas en el paso anterior para obtener la solución final.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1:
Calcular la integral de la función racional:
Solución: Primero, factorizamos el denominador de la función:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Ahora, descomponemos la función en fracciones simples:
(x + 1)^2 / (x + 1)(x + 2) = A/(x + 1) + B/(x + 2)
Donde A y B son los coeficientes que debemos determinar. Para ello, realizamos el siguiente sistema de ecuaciones:
A + B = 1
A(2) + B(1) = 0
Resolviendo este sistema, obtenemos que A = -1 y B = 2. Por lo tanto, la integral de la función es:
∫(x + 1)^2 / (x + 1)(x + 2) dx = ∫(-1/(x + 1) + 2/(x + 2)) dx
= -ln|x + 1| + 2ln|x + 2| + C
Ejercicio 2:
Calcular la integral de la función racional:
Solución: Primero, factorizamos el denominador de la función:
x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3
Ahora, descomponemos la función en fracciones simples:
(x + 1)^3 / (x + 1)(x + 2)^2 = A/(x + 1) + B/(x + 2) + C/(x + 2)^2
Donde A, B y C son los coeficientes que debemos determinar. Para ello, realizamos el siguiente sistema de ecuaciones:
A + B + C = 1
A(2) + B(1) + C(0) = 0
A(4) + B(2) + C(1) = 0
Resolviendo este sistema, obtenemos que A = 1, B = -2 y C = 2. Por lo tanto, la integral de la función es:
∫(x + 1)^3 / (x + 1)(x + 2)^2 dx = ∫(1/(x + 1) - 2/(x + 2) + 2/(x + 2)^2) dx
= ln|x + 1| - 2ln|x + 2| - 2/(x + 2) + C
Conclusiones
Las fracciones parciales son una técnica muy útil para resolver integrales de funciones racionales. Siguiendo los pasos adecuados, es posible descomponer la función en fracciones simples y, de esta forma, facilitar su integración. Esperamos que estos ejercicios resueltos te hayan sido de utilidad para mejorar tus habilidades en este tema.
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