Integración Por Fracciones Parciales Caso 2: Ejercicios Resueltos
La integración por fracciones parciales es un método muy útil para resolver integrales que presentan fracciones complejas. En este caso, nos enfocaremos en el caso 2, en el que el denominador presenta raíces complejas conjugadas. A continuación, presentaremos algunos ejercicios resueltos para que puedas entender mejor cómo aplicar este método.
Ejercicio 1
Calculemos la siguiente integral:
∫(5x+3)/(x²+2x+5)dx
Para resolver esta integral, primero debemos factorizar el denominador:
x²+2x+5 = (x+1)² + 4
Como podemos observar, el denominador presenta raíces complejas conjugadas, por lo que podemos utilizar el siguiente procedimiento:
5x+3 / [(x+1)² + 4] = A/(x+1) + B/[(x+1)² + 4]
Donde A y B son constantes que debemos determinar. Para ello, multiplicamos ambos lados de la igualdad por el denominador:
5x+3 = A[(x+1)² + 4] + B(x+1)
Reemplazamos x por -1, obteniendo:
8A = 2B + 8
Reemplazamos x por cualquier otra raíz compleja conjugada del denominador, por ejemplo x = -1+i, obteniendo:
13+5i = A[(i)²+2i+5] + B(i)
Simplificamos:
13+5i = -A + 5Ai + Bi
Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos que A = 1/2 y B = -1/2. Por lo tanto, la integral queda de la siguiente manera:
∫(5x+3)/(x²+2x+5)dx = 1/2 ∫dx/(x+1) - 1/2 ∫(x+1)/(x²+2x+5)dx
La primera integral es fácil de resolver, mientras que la segunda se puede resolver mediante una sustitución trigonométrica:
∫(5x+3)/(x²+2x+5)dx = 1/2 ln|x+1| - 1/4 ∫dx/[(x+1)²/4 + 1]
Haciendo la sustitución t = (x+1)/2, obtenemos:
∫(5x+3)/(x²+2x+5)dx = 1/2 ln|x+1| - 1/2 arctg((x+1)/2)
Ejercicio 2
Calculemos la siguiente integral:
∫(3x+1)/(x³+1)dx
En este caso, el denominador presenta una raíz real y dos raíces complejas conjugadas, por lo que debemos utilizar la siguiente descomposición:
3x+1 / (x³+1) = A/(x+1) + B/(x²-x+1) + C/(x²+1)
Donde A, B y C son constantes que debemos determinar. Para ello, multiplicamos ambos lados de la igualdad por el denominador:
3x+1 = A(x²-x+1)(x²+1) + B(x+1)(x²+1) + C(x+1)(x²-x+1)
Reemplazamos x por -1, obteniendo:
0 = 2A
Reemplazamos x por 0, obteniendo:
1 = B
Reemplazamos x por cualquier otra raíz compleja conjugada del denominador, por ejemplo x = -1+i, obteniendo:
3+2i = A(-1+i)²(1+i²) + C(-1+i)(1+i²)
Simplificamos:
3+2i = 2A + 2Ci
Resolviendo el sistema de ecuaciones, encontramos que A = 0, B = 1 y C = 1/2. Por lo tanto, la integral queda de la siguiente manera:
∫(3x+1)/(x³+1)dx = ∫dx/(x+1) + ∫(x-1/2)/(x²-x+1)dx + 1/2 ∫dx/(x²+1)
La primera integral es fácil de resolver, mientras que la segunda se puede resolver mediante una sustitución trigonométrica:
∫(3x+1)/(x³+1)dx = ln|x+1| + 1/2 ∫d(x²-x+1)/[(x-1/2)²+3/4] + 1/2 arctg(x)
Haciendo la sustitución t = x-1/2, obtenemos:
∫(3x+1)/(x³+1)dx = ln|x+1| + 1/2 ln[(x-1)^2+3] + 1/2 arctg(x)
Conclusiones
La integración por fracciones parciales es una técnica muy útil para resolver integrales que presentan fracciones complejas. En este artículo, hemos visto cómo aplicar este método en el caso 2, en el que el denominador presenta raíces complejas conjugadas. A través de los ejercicios resueltos, hemos podido entender mejor el procedimiento y cómo determinar las constantes necesarias. Esperamos que este artículo te haya sido de utilidad para tus estudios de cálculo integral.
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