Integración Por Fracciones Parciales: Ejercicios Resueltos En Pdf
La integración por fracciones parciales es una técnica de cálculo integral que se utiliza para integrar funciones racionales. Esta técnica es muy útil en la resolución de problemas de ingeniería, física y matemáticas en general. En este artículo, te mostraremos cómo realizar esta técnica de integración utilizando ejercicios resueltos en formato PDF.
¿Qué son las fracciones parciales?
Antes de adentrarnos en la técnica de integración por fracciones parciales, es importante entender qué son las fracciones parciales. Una fracción parcial es una fracción que se obtiene al descomponer una fracción compleja en fracciones más simples, que pueden ser integradas fácilmente.
Ejemplo:
Descomponer la siguiente fracción en fracciones parciales:
(x^2 + 2x + 1)/(x^3 + 3x^2 + 2x)
Primero, factorizamos el denominador:
x(x + 1)(x + 2)
Luego, escribimos la fracción como una suma de fracciones más simples:
(x^2 + 2x + 1)/(x(x + 1)(x + 2)) = A/x + B/(x + 1) + C/(x + 2)
Donde A, B y C son constantes que debemos encontrar. Para encontrar estas constantes, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común:
x(x + 1)(x + 2)((x^2 + 2x + 1)/(x(x + 1)(x + 2))) = Ax(x + 1)(x + 2)/(x(x + 1)(x + 2)) + Bx(x + 1)(x + 2)/(x + 1)(x + 2) + Cx(x + 1)(x + 2)/x(x + 1)
Luego, simplificamos y resolvemos para A, B y C:
x^2 + 2x + 1 = A(x + 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x + 1)
Reemplazamos x = 0:
1 = 2A
Por lo tanto, A = 1/2
Reemplazamos x = -1:
1 = 2B
Por lo tanto, B = 1/2
Reemplazamos x = -2:
1 = 2C
Por lo tanto, C = 1/2
Finalmente, podemos escribir la fracción original como una suma de fracciones más simples:
(x^2 + 2x + 1)/(x(x + 1)(x + 2)) = 1/2x + 1/2(x + 1) + 1/2(x + 2)
Integración por fracciones parciales
Una vez que hemos encontrado las fracciones parciales de una fracción compleja, podemos integrar cada una de ellas por separado. La integración de cada fracción depende del tipo de fracción que sea.
Existen tres tipos de fracciones parciales:
Ejemplo:
Integrar la siguiente función utilizando fracciones parciales:
(x^2 + 4x + 1)/(x^3 + 3x^2 + 2x)
Primero, descomponemos la fracción en fracciones parciales:
(x^2 + 4x + 1)/(x^3 + 3x^2 + 2x) = A/x + B/(x + 1) + C/(x + 2)
Donde A, B y C son constantes que debemos encontrar. Para encontrar estas constantes, multiplicamos ambos lados de la ecuación por el denominador común:
x(x + 1)(x + 2)((x^2 + 4x + 1)/(x^3 + 3x^2 + 2x))) = Ax(x + 1)(x + 2)/(x(x + 1)(x + 2)) + Bx(x + 1)(x + 2)/(x + 1)(x + 2) + Cx(x + 1)(x + 2)/x(x + 1)
Luego, simplificamos y resolvemos para A, B y C:
x^2 + 4x + 1 = A(x + 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(x + 1)
Reemplazamos x = 0:
1 = 2A
Por lo tanto, A = 1/2
Reemplazamos x = -1:
-2 = -B
Por lo tanto, B = 2
Reemplazamos x = -2:
1 = 2C
Por lo tanto, C = 1/2
Finalmente, podemos escribir la fracción original como una suma de fracciones más simples:
(x^2 + 4x + 1)/(x^3 + 3x^2 + 2x) = 1/2x + 2/(x + 1) + 1/2(x + 2)
Integramos cada fracción por separado:
∫(1/2x)dx = 1/2ln|x| + C1
∫(2/(x + 1))dx = 2ln|x + 1| + C2
∫(1/2(x + 2))dx = 1/2ln|x + 2| + C3
Donde C1, C2 y C3 son constantes de integración. Por lo tanto, la solución general de la integral es:
∫(x^2 + 4x + 1)/(x^3 + 3x^2 + 2x)dx = 1/2ln|x| + 2ln|x + 1| + 1/2ln|x + 2| + C
Conclusión
La integración por fracciones parciales es una técnica de cálculo integral muy útil en la resolución de problemas de ingeniería, física y matemáticas en general. En este artículo, te hemos mostrado cómo realizar esta técnica utilizando ejercicios resueltos en formato PDF. Esperamos que esta información te haya sido de utilidad.
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