Ejercicios Resueltos De Integrales Por Fracciones Parciales Pdf
Si estás estudiando matemáticas o ingeniería, es probable que hayas oído hablar de las integrales por fracciones parciales. En este artículo, te proporcionaremos ejercicios resueltos de integrales por fracciones parciales en formato PDF para ayudarte a entender y practicar esta técnica de integración.
¿Qué son las integrales por fracciones parciales?
Las integrales por fracciones parciales son una técnica de integración que se utiliza para descomponer una fracción algebraica compleja en fracciones más simples que se puedan integrar fácilmente. Esta técnica se utiliza comúnmente en la integración de funciones racionales.
Tipos de fracciones algebraicas
Existen tres tipos de fracciones algebraicas:
Fracciones propias
Las fracciones propias tienen un numerador de grado menor que el denominador. Por ejemplo:
1. $$\frac{3x+2}{x^2-4}$$
Fracciones impropias
Las fracciones impropias tienen un numerador de grado mayor o igual que el denominador. Por ejemplo:
2. $$\frac{2x^2+3x+1}{x+2}$$
Fracciones mixtas
Las fracciones mixtas tienen un término adicional al numerador que no es múltiplo del denominador. Por ejemplo:
3. $$\frac{x^2+1}{x(x-1)}$$
Descomposición en fracciones parciales
Para descomponer una fracción algebraica compleja en fracciones parciales, se siguen los siguientes pasos:
Ejemplos de integrales por fracciones parciales
A continuación, te proporcionamos ejemplos de integrales por fracciones parciales con sus respectivas soluciones:
4. $$\int \frac{3x+2}{x^2-4}dx$$
Para resolver esta integral, primero debemos descomponer la fracción en fracciones parciales:
$$\frac{3x+2}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}$$Donde A y B son constantes desconocidas que debemos determinar. Multiplicando ambos lados por el denominador común, obtenemos:
$$3x+2 = A(x-2) + B(x+2)$$Resolviendo para las constantes desconocidas, obtenemos A = -1/4 y B = 5/4. Por lo tanto, la integral se puede reescribir como:
$$\int \frac{3x+2}{x^2-4}dx = \int \frac{-1/4}{x+2}dx + \int \frac{5/4}{x-2}dx$$Integrando cada fracción individualmente, obtenemos:
$$\int \frac{-1/4}{x+2}dx = -\frac{1}{4}ln|x+2| + C_1$$ $$\int \frac{5/4}{x-2}dx = \frac{5}{4}ln|x-2| + C_2$$Donde C1 y C2 son constantes de integración. Por lo tanto, la solución general de la integral es:
$$\int \frac{3x+2}{x^2-4}dx = -\frac{1}{4}ln|x+2| + \frac{5}{4}ln|x-2| + C$$Donde C es una constante de integración.
5. $$\int \frac{2x^2+3x+1}{x+2}dx$$
Para resolver esta integral, primero debemos descomponer la fracción en fracciones parciales:
$$\frac{2x^2+3x+1}{x+2} = Ax + B + \frac{C}{x+2}$$Donde A, B y C son constantes desconocidas. Multiplicando ambos lados por el denominador común, obtenemos:
$$2x^2+3x+1 = A(x+2)(x+2) + B(x+2) + C(x^2+2x)$$Resolviendo para las constantes desconocidas, obtenemos A = 2, B = -1 y C = 3. Por lo tanto, la integral se puede reescribir como:
$$\int \frac{2x^2+3x+1}{x+2}dx = \int 2x dx - \int dx + \int \frac{3}{x+2}dx$$Integrando cada término individualmente, obtenemos:
$$\int 2x dx = x^2 + C_1$$ $$\int dx = x + C_2$$ $$\int \frac{3}{x+2}dx = 3ln|x+2| + C_3$$Donde C1, C2 y C3 son constantes de integración. Por lo tanto, la solución general de la integral es:
$$\int \frac{2x^2+3x+1}{x+2}dx = x^2 - x + 3ln|x+2| + C$$Donde C es una constante de integración.
Descarga de ejercicios resueltos de integrales por fracciones parciales en formato PDF
Si necesitas más ejemplos de integrales por fracciones parciales para practicar, te proporcionamos un archivo PDF con ejercicios resueltos. Descarga el archivo haciendo clic en el siguiente enlace:
Ejercicios resueltos de integrales por fracciones parciales en formato PDF
Conclusión
Las integrales por fracciones parciales son una técnica de integración muy útil que se utiliza comúnmente en la integración de funciones racionales. En este artículo, te proporcionamos ejercicios resueltos de integrales por fracciones parciales en formato PDF para ayudarte a entender y practicar esta técnica. Esperamos que te haya sido útil esta información y que te haya ayudado a mejorar tus habilidades de integración.
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